PERCHE’ LA MATEMATICA E’ IMPORTANTE PER LA BIOLOGIA

 

cavolo1L’analisi del legame che unisce ambiente ed organismi viventi rappresenta il centro d’interesse della disciplina nota come “ecologia”. L’insieme delle interazioni tra popolazioni d’individui e luogo in cui tali popolazioni vivono e si riproducono definisce un ecosistema. A prescindere dai diversi fattori che caratterizzano un determinato tipo di ecosistema, per l’ecologia è di fondamentale interesse seguire le dinamiche di una popolazione, ad esempio comprenderne lo sviluppo demografico nel corso del tempo. L’interesse è motivato da una pluralità di questioni che vanno dai fini gestionali-economici (es. agricoltura) a scopi di preservazione dell’ambiente. Ma più in generale, è di facile intuizione capire come il funzionamento che regola un ecosistema sia connesso al numero di individui che lo abitano e all’azione biologica che vi esercitano.

Per monitorare l’evoluzione di un gruppo di organismi nel tempo, l’ecologia necessita di adeguati modelli matematici che ne simulino l’andamento reale. Il tempo può essere considerato come variabile continua oppure come variabile discreta. Per quel che riguarda la dinamica evolutiva di una popolazione, data la discontinuità cui, in maniera più o meno marcata, essa è soggetta nella realtà, più che l’utilizzo di equazioni differenziali, che mostrano la variazione continua nel tempo di un fenomeno, può essere utile far ricorso ad equazioni discrete. Queste ultime si esprimono, nel nostro caso, in intervalli di tempo discreti (t = 0, 1, 2 )  che separano la  generazione “x” costituita da un certo numero di individui, dalla generazione “x + 1″, cioè il numero di individui appartenenti alla generazione successiva. Ciò permette di verificare cosa accade alla variabile x nel tempo successivo x (t + 1)  data la situazione all’istante attuale x (t).

Il modello matematico che prenderemo in esame presenta una realtà evolutiva estremamente semplificata. Infatti presupponiamo che non vi siano né predatori né competizione per il cibo. Inoltre il potere riproduttivo “r“, dipendente dalla fitness o capacità riproduttiva degli individui, rimane invariato attraverso il susseguirsi delle diverse generazioni. Tenendo a mente le premesse esplicitate, è possibile stabilire una proporzionalità tra la generazione attuale x(t) e la generazione futura x(t + 1) tramite il parametro riproduttivo “r“. Avremo così l’equazione:

  • x(t + 1) = rx(t)

Se con x(0) indichiamo il numero di individui all’istante iniziale, allora il numero di individui della generazione al tempo uno è dato dal prodotto del parametro “r” con x(0). Allo stesso modo, il numero di individui facenti parte della generazione al tempo due sarà data dal prodotto di r2 con x(0). Dunque, come è ormai chiaro, l’equazione ricorsivamente stabilisce che il numero d’individui della generazione al tempo “n” scaturisce dal prodotto di rn  con x(0).

  • x(t + 1) = rx(0)
  • x(t + 2) = r2 x(0)
  • x(t + n) = rn x(0)

L’evoluzione del sistema nelle equazioni sopra riportate è determinata dal valore che assume “r”. Per r < 1, abbiamo una decrescita esponenziale che porta la popolazione all’estinzione, mentre per r > 1 si ha un esplosione demografica che spinge la popolazione verso un aumento indefinito. Per r = 1 l’andamento rimarrà stazionario.

Come abbiamo già notato una simile modellizzazione della realtà si rivela fin troppo semplicistica. Di fatto, la riproduzione degli individui non dà luogo ad aumenti o diminuzioni demografiche indefinite nel tempo. Il modello non tiene conto del fatto che, ad un numero considerevolmente alto di individui corrisponde una altrettanto elevata competizione tra gli stessi, al fine di ottenere il cibo che non basta più per sostentare tutti. Questo non può che portare ad una diminuzione del potere riproduttivo. In più, la riproduzione sessuale è influenzata da una multiformità di vincoli endogeni ed esogeni, quali: fertilità, selezione sessuale, capacità di sopravvivenza nell’ambiente, ecc. Insomma, la realtà nella sua ricchezza presenta innumerevoli variabili in funzione della determinazione di un singolo risultato, risultato che a sua volta diverrà variabile di un insieme di cause che produrranno ancora un altro effetto, e così via. A volte è possibile che la complessità dei fenomeni della natura, analizzata sotto la “veste formale” del linguaggio matematico, si esprima come caos deterministico. Vedremo a breve cosa si intende con questa apparentemente ossimorica definizione.

Per “aggiustare” il tiro del nostro modello troppo semplicistico di comprensione della realtà, dobbiamo aggiungere all’ equazione x(t + 1) = rx(t)  un termine (1 – x(t)) che tiene conto della competizione per il cibo e del modo in cui questa incide sul potenziale riproduttivo. Detto in altri parole (1 – x(t)) è un termine che “frena” o “limita” la crescita del parametro “r“.

  • x(t + 1) = rx(t)(1 – x(t))

Otteniamo in questo modo l’equazione che descrive la mappa logistica. Essa può essere intesa come una delle applicazioni che derivano dalla teoria del caos, teoria che studia sistemi deterministico-caotici nel loro comportamento dinamico. Ma come possiamo dire che un sistema caotico è anche deterministico?

Un sistema caotico è deterministico perché non è sottoposto ad una pura aleatorietà. Esso è invece un fenomeno che può essere rappresentato e determinato da precise equazioni di stato, equazioni non lineari che, date certe condizioni iniziali del sistema, permetterebbero di prevedere la sua evoluzione. Evoluzione che sarà però estremamente sensibile a variazioni anche molto piccole delle condizioni di partenza, e all’accumularsi di tali variazioni l’andamento assumerà comportamenti caotici. Esemplifichiamo un sistema deterministico caotico proprio tornando alla spiegazione del nostro caso specifico di studio di dinamica delle popolazioni.

L’evoluzione del sistema nel tempo può essere rappresentato da una mappa unidimensionale, poiché abbiamo a che fare con una sola variabile “x“. L’equazione della mappa connette rx(1 – x) in funzione di x, ovvero f(x) = rx(1 – x). Rappresentando la funzione con un diagramma cartesiano, otteniamo una parabola che interseca l’asse dell’ascisse in 0 e 1.

Il metodo grafico da utilizzare si struttura nel modo seguente. Sull’asse delle ascisse poniamo il numero di individui di una data generazione, su quello delle ordinate il numero di individui della generazione che segue quella data. Si disegna la bisettrice del primo e terzo quadrante. Si sceglie sull’ asse delle ascisse il punto x(0), che rappresenta la generazione di partenza. Si traccia dal punto (x(0), 0) un segmento verticale fino ad incontrare la parabola. L’ordinata dell’intersezione ottenuta è x(1), la quale sta ad indicare la prima generazione. Da qui possiamo ripetere il procedimento. Dall’ordinata x(1) ci riportiamo sull’asse delle ascisse, tracciando una retta orizzontale fino a intersecare la bisettrice nel punto (x(1), x(1)), in seguito tracciamo un’altra linea retta verticale fino ad intersecare la parabola, ove il punto d’intersezione rappresenta la seconda generazione, ovvero x(2). Così facendo reiteriamo la mappa, e otteniamo una rappresentazione dell’evoluzione temporale x(0), x(1), x(2), x(3) ecc. La reiterazione è possibile algebricamente e graficamente perché dato il parametro “r“, la nuova generazione dipende unicamente dalla precedente. La curva della parabola ci restituisce il numero d’individui della nuova generazione in funzione della precedente.

 

rsz_mappina_3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Quel che è interessante notare è l’andamento dell’evoluzione dinamica di una popolazione in relazione al parametro “r”.  Al crescere del valore di “r” l’andamento evolutivo assume comportamenti sempre più disordinati, caotici. Questo tipo di comportamento non è un’eccezione, ma accade piuttosto spesso nei sistemi biologici. Per concludere, abbiamo visto come sia importante per la comprensione della natura avvalersi in certi casi di modelli matematici che si esprimono in tempo discreto, a fronte di una realtà quanto mai complessa e frastagliata nelle sue dinamiche.

Luca Biccheri

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