MATEMATICA E’ POESIA

images (2)Prima di iniziare i miei studi universitari l’immagine che avevo della matematica era quella di una cattedrale gotica con fondamenta, muri, colonne, vele, archi rampanti, decorazioni: certamente il frutto di una progettazione collettiva, come all’epoca ci dicevano fossero le cattedrali, ma con una sua gerarchia costruttiva. Alla base c’era la logica matematica, poi si sceglievano dei sistemi d’assiomi e si procedeva deducendo, teorema dopo teorema, lasciando ciascuno alla posterità questo o quell’elemento della struttura. Per sempre.  Questa immagine maestosa mi piaceva ed è un motivo per cui m’iscrissi a matematica e non a lettere. Il motivo principale per cui m’iscrissi era però di segno opposto: mi piaceva risolvere problemi, o provare a farlo. Mi attirava cioè della matematica la libertà con cui si pescano pezzi di conoscenza apparentemente distanti tra loro, magari presi anche dall’esterno della matematica, e li si connette tra loro in maniera impensata e non necessaria, utilizzando l’immaginazione con libertà, ma non arbitrariamente (la dimostrazione deve stare in piedi, alla fine).

Nei primi anni di università prevaleva di gran lunga l’aspetto architettonico e io mi annoiavo, non studiavo, leggevo invece romanzi e libri di storia… M’ero persino scordato di aver mai provato interesse per la materia e a un certo punto non avrei saputo dire perché ero iscritto a quel corso di laurea. Per fortuna incontrai più tardi un paio di professori che sapevano comunicare della matematica l’aspetto libero, semi-informale e reticolare di cui avevo bisogno per risvegliare il mio interesse.

La matematica può essere vista più come una Divina Commedia che incatena il suo discorso terzina dopo terzina, o come un Orlando Furioso le cui ottave potrebbero essere ricombinate in un’infinità di maniere diverse. O meglio, essa già appare come la libera ricombinazione di un Orlando Furioso idealmente ordinato che nessuno, forse per paura del tedio, ha mai scritto, né mai scriverà. Vorrei spendere qualche parola a favore della natura ariostesca della matematica, ben sapendo che, con uguale diritto e forza d’argomenti qualcuno potrebbe invece sostenerne la natura dantesca.

(i) Un teorema è certamente, come si dice, un enunciato che segue logicamente dagli assiomi che si son messi alla base della teoria. Un generatore automatico di teoremi, però, produrrebbe matematica di qualità pari alla poesia d’un generatore automatico di sonetti. Un teorema bello e significativo è quello che sintetizza un ‘‘fenomeno matematico” (un fenomeno che potrebbe spesso essere espresso anche diversamente e in forma non del tutto equivalente). Il teorema secondo cui nel piano euclideo la somme degli angoli interni d’un triangolo è un angolo piatto è un bell’esempio, soprattutto se lo si confronta col fatto che un grande triangolo sulla sfera può avere tre angoli retti! S’intuisce che questa faccenda della somma degli angoli ha a che fare con la misura della ”piattezza” d’una superficie (e Gauss e Riemann sono dietro l’angolo…).

(ii) I ponti che vengono gettati tra aree diverse della matematica (o delle altre scienze) sono pezzi di teoria di gran valore. Li si può considerare come figure (nel senso dantesco) in stretto linguaggio matematico. L’osservazione superficiale che (a) la gaussiana appare come configurazione limite di molti fenomeni probabilistici (teorema del limite centrale) e (b) dà la distribuzione della temperatura generata da una sorgente puntiforme di calore dopo un certo tempo, divenne nel 1905 la teoria einsteniana del moto browniano, che non solo è un bellissimo pezzo di fisica, ma permette anche di spostare concetti e risultati avanti e indietro tra teoria delle probabilità ed equazioni differenziali alle derivate parziali.

(iii) Può succedere che due contesti matematici abbiano oggetti e relazioni tra oggetti abbastanza simili da suggerire che ciò che si fa valere in un contesto valga anche nell’altro. (Notare la somiglianza dei contesti è un’attività di ricerca in sé: talvolta i linguaggi sono diversi e si vede la corrispondenza solo dopo aver vagliato un numero di formulazioni equivalenti della teoria). Accade talvolta, però, che gli strumenti matematici disponibili in uno dei due contesti siano del tutto assenti nell’altro e che si debba ripartire da zero, pur sapendo dove si vorrebbe arrivare. Esempi notevoli sono dati da teorie sviluppate in “dimensione minima” attorno alla prima metà del Novecento con l’ausilio dell’analisi complessa (cioè con l’analisi matematica in cui si derivano funzioni rispetto a una variabile complessa, invece che reale) e che hanno impegnato buona parte del secondo Novecento e oltre per essere comprese in dimensione maggiore. Per questo motivo la teoria delle superfici risulta molto più semplice di quella delle varietà tridimensionali. Per lo stesso motivo l’analisi armonica (quella legata alle trasformate di Fourier) utilizza metodi diversi in una e in più dimensioni.

(iv) E’ noto come alcune teorie possano essere viste come esempi di teoria più generali (in linea di principio ciò è sempre possibile). A volte è più facile risolvere la generalizzazione Q nella teoria generale B di un problema più particolare P posto nella teoria meno generale A. Pur conoscendo questo principio per averlo visto più volte all’opera, non cessa mai di stupirmi. Per esempio, è più difficile dimostrare il teorema sulla caratteristica di Eulero d’un poliedro, che non il più generale teorema sulla caratteristica d’Eulero d’un grafo piano. Per chi non sa di cosa sto scrivendo, suggerisco un bellissimo libero scritto da un filosofo: Imre Lakatos, Dimostrazioni e Confutazioni.

Nicola Arcozzi

 

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