LA PRIMA TEORIA DEGLI INSIEMI E LA FILOSOFIA

p170qd7oos12d1mm41hhu11mo1mvn0_89856Diversi intellettuali hanno mostrato che la filosofia non deve chiudersi nella sua torre eburnea di erudizione, ma che ha anche il compito faticoso di studiare i fondamenti delle scienze empiriche e logiche. Queste ultime ricorrono al linguaggio matematico per semplificare processi deduttivi e psicologici altrimenti molto lunghi. Il linguaggio matematico, pertanto, ha un’importanza fondamentale per il progresso delle scienze, la stessa importanza che hanno le regole sintattiche per il corretto “funzionamento” del nostro linguaggio naturale.

I filosofi, dal canto loro, si sono da sempre interrogati sulla matematica, sul suo metodo ed i suoi risultati. Le indagini di Zenone e di Platone ci danno conferma di questo interesse, oltre a fornire risposte profonde ed interessanti, seppur primitive, a questioni come la teoria della misurazione e la natura del numero. Essi possono essere considerati i primi filosofi della matematica e studiosi delle sue implicazioni metafisiche.

La ricerca sulle fondazioni della matematica, dunque, possiede anche un valore filosofico, e la storia di una disciplina in particolare lo dimostra.

La teoria degli insiemi è lo studio formale delle classi e dell’infinito attuale matematico (o, come vedremo, degli infiniti matematici) e su di essa si fonda gran parte della matematica moderna. La teoria degli insiemi nacque in Germania solo alla metà del 19esimo secolo, perché, sin ad allora, molti dei matematici (Gauss su tutti) e  dei filosofi europei avevano ritenuto impossibile lo studio matematico dell’infinito attuale. Alla base di questo rifiuto c’erano posizioni filosofiche finitiste (mantenute, ad esempio, dal famoso matematico Leopold Kronecker), che confermano lo stretto legame tra problemi matematici e soluzioni filosofiche. Tra i molti studiosi che si cimentarono nella teoria degli insiemi, non si può ignorare l’importante contributo di Bolzano, Riemann e Dedekind.

Nonostante il suo apporto sia stato largamente sottovalutato, Bernard Bolzano fu un matematico e filosofo di grande valore. Egli criticò i paradossi sull’esistenza dell’infinito attuale e propose un argomento interessante sull’esistenza di insiemi infiniti, ipotizzando persino l’esistenza di diverse classi di infiniti.

Bernhard Riemann, nella sua famosa lettura di abilitazione all’insegnamento, aveva ipotizzato di fondare la matematica sulla nozione di “insieme”, mentre Richard Dedekind, nel suo lavoro di teoria dei numeri, faceva ampiamente uso di operazioni su insiemi.

Le intuizioni profonde dei tre scienziati consentirono a Georg Cantor di dare una prima fondazione della teoria.

Il 1873 fu un anno decisivo per gli sviluppi della teoria degli insiemi: Cantor scoprì che l’insieme dei numeri reali non era denumerabile e che, dunque, la sua cardinalità era maggiore o uguale alla cardinalità dei numeri naturali o dei numeri razionali, che erano invece denumerabili. Questo risultato permise a Cantor di utilizzare numeri transfiniti per ordinare diverse classi di infiniti.

Il valore filosofico di tali scoperte non è da sottovalutare. Gli studiosi hanno rivisto il concetto tradizionale di infinito e si sono interrogati su una pluralità di infiniti, traendone interessanti considerazioni teoriche.

Diversi matematici di inizio Novecento credettero che l’intera matematica potesse essere fondata sulla teoria degli insiemi. Purtroppo, però, furono trovati tre paradossi che ne compromisero il programma di fondazione. Il primo, il paradosso di Burali-Forti, individuò un’antinomia nella costruzione dell’insieme di tutti numeri ordinali. Il secondo, il paradosso di Cantor, dimostrò che l’insieme delle parti dell’insieme Universale (cioè l’’insieme di tutti gli insiemi) aveva cardinalità maggiore dell’insieme Universale stesso. Il terzo, il paradosso di Zermelo-Russell, individuò un’ antinomia nel considerare l’insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di se stessi.

Era necessario, pertanto, fornire una fondazione chiara della teoria degli insiemi e rinunciare sia all’insieme Universale sia al principio di Comprensione.

Quest’ultimo, pur essendo dotato di grande fascino, consentiva la costruzione di insiemi con proprietà arbitrarie ed aveva condotto al paradosso di Russell. Occorrervano dunque regole apposite per la costruzione di insiemi, che rendevano la teoria meno “naturale”.

Le implicazioni filosofiche di questi paradossi e della rinuncia al principio di comprensione furono sottolineate dai filosofi analitici Goodman e Quine in un famoso articolo. Essi proposero di rinunciare ad impegnarsi ontologicamente alle entità astratte matematiche facendo appello ad un’intuizione filosofica primitiva. I due filosofi notarono correttamente, infine, come la risoluzione dei tre paradossi  della teoria degli insiemi implicava un grado di arbitrarietà ed artificialità formale da guardare con sospetto. La loro proposta teorica fu fortemente criticata da diversi filosofi e matematici che ritenevano necessaria l’esistenza delle entità postulate dalla teoria degli insiemi, indispensabili a discipline come la fisica o la biologia.

Marino Varricchio

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