IL PARADOSSO DEL MENTITORE PROBABILISTICO

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Avete già visto questo rompicapo?

Da una ricerca online (non troppo approfondita), il primo avvistamento risulta risalire a questo post su Google+ del matematico Raymond Johnson di Boulder (Colorado), pubblicato il 20 ottobre del 2011. Non ho trovato occorrenze precedenti, ma non mi stupirei di certo se ce ne fossero. Oltre ai molti commenti al post di Johnson, è possibile trovare online alcune altre discussioni (come questa). Le soluzioni proposte variano parecchio, ma due reazioni sembrano piuttosto popolari.

(1)  È un problema mal posto: mancano le informazioni necessarie per identificare una singola risposta corretta.

(2)  Si tratta di un paradosso.

Nel seguito, spiegherò perché sia (1) sia (2) sono false, almeno rispetto a quella che considero l’interpretazione più plausibile del quesito iniziale. Una soluzione corretta c’è, anche se non è intuitiva. Non sono il primo a dirlo, sia chiaro, ma una spiegazione dettagliata potrà forse essere di interesse (per esempio, a chi volesse provare a servirsi del rompicapo per scopi didattici). Esistono comunque altre varianti del problema per cui è vera (1). Da un punto di vista teorico, d’altra parte, la cosa più interessante è capire se esistono versioni in cui sia vera (2). Secondo me sì, come spiegherò alla fine, aggiungendo però alcune cautele e un suggerimento per chi avesse voglia di approfondire.

 

Soluzione del problema iniziale

Innanzi tutto, darò per scontato che “scegliere a caso” in una lista di n opzioni significhi che ogni opzione ha la stessa probabilità di essere scelta (1/n). Si tratta di un presupposto che mi pare molto naturale, ma che è meglio esplicitare, perché in sua assenza il problema è effettivamente indeterminato.

Normalmente, in una domanda a scelta multipla con n opzioni, anche la probabilità di azzeccare scegliendo a caso (nel senso naturale che ho definito) è 1/n. Perché? Perché normalmente (i) la risposta corretta è compresa fra le opzioni elencate e (ii) ad ogni opzione di scelta corrisponde una risposta distinta. Nel problema più sopra, la condizione (ii) è ovviamente violata, e questo rende subito il quesito alquanto sospetto: ci sono due opzioni (A e D) che indicano una stessa risposta (25%). Quanto a (i), è importante notare che l’enunciazione del problema non stabilisce che ciò sia vero (o almeno questa è la mia lettura): è opportuno tenere in conto la possibilità che la risposta corretta non compaia in nessuna delle opzioni elencate. Come vedremo fra poco, questo è un punto critico.

Dunque non è il caso di presupporre né (i) né (ii). E quindi la probabilità di azzeccare scegliendo a caso non è necessariamente 1/n. Ma resta comunque stabilito un punto più generale. Con n opzioni, la probabilità che cerchiamo deve avere la forma m/n, con m intero e 0 ≤ mn. In un problema in cui, come nel nostro, n = 4, ci sono quindi esattamente e solamente cinque possibili valori della probabilità di azzeccare scegliendo a caso: 0%, 25%, 50%, 75% e 100%, a seconda che la risposta corretta compaia 0, 1, 2, 3 o 4 volte nella lista delle opzioni. Per identificare il valore corretto fra questi cinque, possiamo ora procedere per esclusione.

100% non è la soluzione: lo sarebbe solo se avessimo A = B = C = D = 100%. La soluzione 75% va esclusa per un motivo molto simile: la risposta 75% dovrebbe comparire esattamente in tre opzioni su quattro. Analogamente, la soluzione potrebbe essere 50% soltanto se esattamente due opzioni su quattro indicassero la risposta 50%, e non è così. Infine, la soluzione non può essere neppure 25%, perché nel nostro caso la risposta 25% compare in due opzioni su quattro — troppe: dovrebbe essere una sola. Così, la soluzione del problema è l’unica che resta: 0%. Nessuna delle opzioni a disposizione riporta la risposta corretta: scegliendo a caso fra quelle opzioni, non c’è nessuna possibilità di azzeccare.

Ci si potrebbe chiedere se esistono varianti del problema che hanno una soluzione precisa, ma diversa da 0%. Ebbene sì, esistono. Ecco, per esempio, una versione in cui la soluzione corretta è 1/3.

Scegliendo a caso una delle opzioni qui di seguito, qual è la probabilità che la risposta corrispondente sia corretta?

  1. A) 0
  2. B) 1/3
  3. C) 2/3

Se siete ancora sospettosi della vostra intuizione (è un buon segno!), considerate questa domanda: esiste un m (intero, e con 0 ≤ mn) tale che la risposta “m/n” compare esattamente m volte fra le n opzioni di scelta disponibili? Ogni volta che abbiamo n opzioni tali che uno e un solo m soddisfa questa condizione, abbiamo di fronte un esempio innocuo di questa classe di rompicapi, con una soluzione ben definita. (Nel caso qui sopra n = 3 e m = 1.)

Chiaro, no? Bene, allora: riuscite a generare un esempio in cui c’è una singola risposta corretta ed è 100%?

 

Un vero paradosso?

Analizziamo ora questa variante (che si trova anche, per esempio, qui):

Scegliendo a caso una delle opzioni qui di seguito, qual è la probabilità che la risposta corrispondente sia corretta?

  1. A) 0%
  2. B) 25%
  3. C) 25%
  4. D) 50%

Dato che n = 4, teniamo ferma l’idea che la probabilità di azzeccare con una scelta causale deve essere una fra queste: 0%, 25%, 50%, 75%, o 100%. Ma per le ultime quattro possibilità valgono le stesse osservazioni già fatte in riferimento alla versione iniziale: non può essere 100%, perché questa risposta dovrebbe comparire quattro volte; non può essere 75%, perché questa risposta dovrebbe comparire tre volte; non può essere 50%, perché questa risposta dovrebbe comparire due volte; e non può essere 25%, perché questa risposta dovrebbe comparire una sola volta. Ma in questo caso anche la risposta 0% è da escludere! Perché tale risposta fosse corretta, non dovrebbe esserci nessuna possibilità di sceglierla a caso, e invece in questa versione la risposta “0%” sarà selezionata casualmente con il 25% di probabilità.

Si tratta dunque di un vero paradosso? Io dico di sì. Dopotutto, sembra proprio che abbiamo derivato legittimamente due conseguenze fra loro contraddittorie, e cioè: che una risposta fra 0%, 25%, 50%, 75% e 100% è corretta; e anche che, al contrario, nessuna di queste è corretta. Però non ho fornito una ricostruzione rigorosa del paradosso: è un lavoro che resta da fare (io non l’ho trovata da nessuna parte). Sì, perché un paradosso può essere anche sorprendente, curioso o divertente, ma il suo principale interesse teorico non sta in questo. Occorre darne un’analisi formale approfondita per capire esattamente quali sono le premesse tacite e apparentemente innocue che contribuiscono a generare una contraddizione. Anche, poniamo, il paradosso di Russell potrebbe essere soltanto un trastullo per secchioni. Non è solo questo, invece, perché ci costringe a riconsiderare il principio di comprensione nella teoria degli insiemi. Per capire che cosa può insegnarci un paradosso, quindi, bisogna affilare le armi (logiche) e scoprire che cosa c’è dietro.

A questo punto, però, ho solo un piccolo suggerimento per i più abili e determinati. C’è chi ha studiato a fondo il comportamento logico di linguaggi formali molto espressivi, nei quali le proposizioni possono riguardare la probabilità di proposizioni, comprese se stesse (questo recente articolo di Catrin Campbell-Moore è fondamentale). Forse è proprio da quelle parti che dovremmo cercare per studiare il “paradosso della scelta casuale”, comprenderne il significato, e magari risolverlo!

Vincenzo Crupi

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