IL DENARO NON FA LA FELICITA’ A PIETROBURGO

soldi-euro-600x300Ci sono tanti modi per rendersi conto che l’utilità del denaro non è il suo valore numerico. Basta pensare che per un poveraccio 10 euro sono una boccata di ossigeno, mentre per un miliardario sono irrilevanti.

Esiste però una sorta di dimostrazione quasi a priori di questa tesi, cioè il celebre paradosso di S. Pietroburgo, formulato nel Settecento dai Bernoulli.

Immaginiamo di lanciare una moneta non truccata tante volte fino a che viene sempre croce e che il banco dia a uno scommettitore 2k euro, dove k è il numero di volte che è venuto croce prima che risultasse testa. Quanto dovrebbe pagare lo scommettitore al banco, in modo da andare perfettamente in pari?

La teoria classica delle decisioni impone di avvalersi della nozione di utilità attesa, cioè sommare tutte le utilità delle diverse possibilità pesate dalle rispettive probabilità che si avverino.

Nel nostro caso le possibilità sono infinite: che venga testa al primo lancio, al secondo, al terzo ecc. Le probabilità saranno:

Probabilità testa al primo = ½

Probabilità testa al secondo = (1/2)2

……………………………………

Probabilità testa al k-esimo = (1/2)k

…………………………………….

I rispettivi guadagni saranno:

Guadagno testa al primo = 1 euro

Guadagno testa al secondo = 2 Euro

…………………………………………

Guadagno testa al k-esimo = 2k-1 euro

………………………………………….

 

Moltiplicando:

U = ½ ´ 1 + ¼ ´ 2 +…. + (1/2)k ´ 2k-1 + ….

Cioè:

U = ½ + ½ +…..+ ½ +……= infinito

Dunque l’utilità attesa dello scommettitore è infinita e per giocare a pari con il banco in questa lotteria dovrebbe pagargli un’infinità di euro!

Qualcosa nel nostro ragionamento non funziona.

Bisogna però dire che se in effetti lo scommettitore e il banco giocassero una quantità infinita di volte e ogni volta lo scommettitore desse al banco infiniti euro, alla fine egli farebbero una patta!

Tuttavia nella realtà questo non succede e nessuno sarebbe propenso a scommettere poco più degli euro che si contano sulla punta delle dita di una mano per giocare alla lotteria di S. Pietroburgo.

La premessa nascosta empiricamente sbagliata del ragionamento che porta al paradosso è che l’utilità del denaro sia pari al suo valore numerico. In effetti nessuno sarebbe disposto a scommettere, ad esempio, 200 euro comprendendo nella propria utilità la possibilità che con 1 probabilità su 2100 il banco gli dia 2100 – 1 euro.

Ormai sappiamo bene che l’utilità del denaro è una strana curva che passa per lo 0, scende molto rapidamente rispetto alle perdite e sale dapprima più velocemente e poi più lentamente rispetto ai guadagni.

JoyLoss

 

 

 

 

 

 

 

 

Dunque il denaro non fa la felicità… figuriamoci la miseria!

Vincenzo Fano

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