IL CONTINUO RITORNO DELL’EQUAZIONE DI CONTINUITA’

downloadUna delle equazioni più importanti usata per comprendere il mondo che ci circonda è senz’altro la cosiddetta “equazione di continuità”, che gioca un ruolo centrale in tutte le teorie fisiche e anche oltre.

Se prendete un qualsiasi manuale di fisica, così come la bella voce inglese di wikipedia, scoprite che l’equazione di continuità descrive la conservazione o il trasporto di una quantità.

Consideriamo la grande piazza di S. Pietro a Roma, piena di gente che procede in direzioni differenti. Prendiamo un’area di 1 metro quadro e diciamo che in 1 secondo stanno in quella superficie r persone. È chiaro che r avrà valori diversi in aree diverse della piazza. Questo r è quello che i fisici chiamano un “campo scalare”, cioè una variabile numerica che assume valori diversi in punti differenti dello spazio. Infatti abbiamo calcolato r per un’area di 1 m2, ma al limite lo si può determinare anche per un singolo punto. Si può anche dire che r è una densità di gente.

La variabile r non ci dice nulla su come si muovono le persone. Dobbiamo allora aggiungere un nuovo campo, questa volta vettoriale, cioè le velocità delle persone. Diciamo che in ogni punto della piazza la velocità media delle persone è data da un vettore che chiamiamo v. Si tratta di un vettore, perché le persone si muovono ognuna in una determinata direzione.

Come varia nel tempo la densità di persone in ogni punto della piazza?

Sappiamo che Newton e Leibniz hanno inventato un potente strumento per descrivere come le grandezze fisiche variano istante per istante, cioè il calcolo infinitesimale. La variazione istantanea è quindi data dalla derivata di r rispetto al tempo t, cioè dr / dt.

Supponiamo, come è ragionevole, che le persone non spariscano. Allora la variazione istantanea di densità di gente in un punto della piazza sarà data dalla densità in quel punto moltiplicata per la variazione spaziale infinitesima della velocità nello stesso punto.

Cerchiamo di essere più intuitivi. In un certo punto della piazza nell’unità di tempo si trovano r persone che si muovono in direzioni e velocità diverse. La loro velocità media sommata nell’istante di tempo è v. v comprende sia le persone che arrivano che quelle che se ne vanno dal punto. Quindi r moltiplicato per v ci dà il numero di persone che passano dal punto nell’unità di tempo, cioè il cosiddetto “flusso” di persone. Tuttavia noi non dobbiamo prendere in considerazione solo il flusso nel punto, ma anche il flusso tutto intorno al punto, poiché in un piccolissimo intervallo di tempo, per il cambiamento della densità di gente in un punto è rilevante ciò che succede in un piccolissimo intervallo di superficie della piazza di S. Pietro. Le velocità sono un campo vettoriale. Per valutare come cambia un campo vettoriale nello spazio dobbiamo fare la sua derivata in tutte le direzioni e sommare. In generale le direzioni sono tre, ma nel nostro caso, visto che la gente non vola, saranno solo due diciamo x e y. Poi queste derivate vanno sommate. Questa operazione si chiama “divergenza”. Essa valuta come varia il campo delle velocità nell’intorno di un punto.

Ed ecco che siamo arrivati all’equazione di continuità che ci dice come la densità di gente cambia nel tempo dato come è distribuita la loro velocità nello spazio:

dr / dt = – div r v.

Il segno meno perché ci riferiamo alla gente che si allontana dal punto.

Non sempre abbiamo una semplice interpretazione meccanica del flusso, come nel caso della gente che gironzola per piazza S. Pietro. Un altro caso simile è quello del flusso di acqua in un tubo, dove è ancora possibile parlare di velocità.

Inoltre spesso i fluidi sono approssimativamente incomprimibili, perciò la variazione della densità è nulla e l’equazione di continuità si riduce a:

div v = 0

Ovvero il campo delle velocità ha divergenza nulla dappertutto. Più esplicitamente in tre dimensioni:

dvx /dx + dvy / dy + dvz / dz = 0

In pratica, se prendiamo una goccia d’acqua, le velocità delle molecole si compensano in modo che non aumenta il suo volume.

Ma non sempre il flusso è della forma r per v. Ci sono casi molto importanti in cui il flusso, pur avendo un’interpretazione fisica strettamente legata al campo scalare r, deve essere una nuova variabile fisica. Questo accade, per esempio, quando r è la densità di carica q e il flusso di q, cioè la quantità di q per unità di tempo e unità di area è la correte elettrica j. La corrente elettrica j non è interpretabile come q per v, cioè non è un semplice flusso meccanico di particelle cariche. Perciò in questo caso l’equazione di continuità diventa:

d q /d t = – div j

Qualcosa di simile accade nel caso del flusso di calore h che non è interpretabile meccanicamente come un campo di velocità della densità di calore Q. L’equazione sarà quindi:

dQ / dt = – div h

Notiamo che questa equazione presuppone ancora l’idea che esista il calorico, cioè che il calore sia un fluido. Noi sappiamo, invece, che il calore non è altro che movimento delle molecole. Per questa ragione essa vale solo in certe situazioni.

In fisica capita spesso che equazioni basate su modelli falsi di fatto almeno in parte funzionano. Questo fatto non va interpretato come un argomento a favore dello strumentalismo, cioè della tesi secondo cui tutte le equazioni della fisica non hanno capacità rappresentativa della realtà, ma come una prova che diverse equazioni mettono in luce aspetti differenti di una realtà complessa. Ovvero il calore, pur essendo a livello microscopico moto molecolare, dal punto di vista macroscopico è anche un po’ un fluido.

In un certo senso le equazioni di continuità che abbiamo visto finora sono forme di conservazione locale di una quantità, che sia la densità del fluido, del calore o della carica. Nel caso in cui esiste un’interpretazione meccanica del flusso mediante un campo di velocità la conservazione è letterale. Quando, invece, occorre introdurre variabili nuove come il flusso di corrente o di calore la conservazione è un po’ indiretta. Sottolineo l’importanza del termine “locale”. Infatti le quantità possono anche essere conservate a distanza. Ad esempio materia che sparisce in un wormhole spazio-temporale ricompare in un altro punto dello spaziotempo. Qui invece la densità di calore, di carica elettrica o del liquido si conserva localmente.

Nell’equazione di continuità può starci anche un terzo termine: negativo se la quantità viene distrutta o positivo se essa viene creata. Sia R una densità di qualcosa e J il suo flusso allora può essere che:

dR / dt + div J = S

Se S è negativo qualcosa viene distrutto, mentre se è positivo qualcosa viene creato.

L’equazione di continuità è talmente incardinata nella nostra spiegazione scientifica del mondo che dallo spazio fisico è stata trasferita nello spazio degli stati.

Facciamo una breve digressione sulla distinzione fra spazio fisico e spazio degli stati.

La fisica moderna si afferma con l’idea newtoniana che spazio e tempo siano l’arena all’interno della quale il mondo accade. D’altra parte, accanto a questa prospettiva platonica, è sempre stata presente anche l’idea aristotelica, ripresa da Leibniz, secondo cui spazio e tempo non sarebbero realtà primarie, ma derivate da altre grandezze fisiche più fondamentali. Negli ultimi cento anni questa seconda prospettiva si è progressivamente consolidata, grazie alla messa in discussione della stabilità dello spaziotempo insita nelle teorie relativistiche e alla scomparsa di una spiegazione in termini di traiettorie nella fisica quantistica. La rappresentazione del mondo utilizzata da quest’ultima teoria, infatti, si colloca nello spazio degli stati, cioè in uno spazio puramente geometrico in cui a ogni variabile corrisponde una dimensione di tale spazio. Se, come sembra, dobbiamo abbandonare la rappresentazione spazio-temporale del mondo, la rappresentazione nello spazio degli stati diventa molto comoda e intuitiva.

Vediamo allora perché anche lì l’equazione di continuità può essere utile.

Prendiamo un sistema di N particelle, il cui stato sarà determinato dalle 3 componenti della posizione e dalle 3 componenti della velocità di ogni particella, cioè da 6N variabili. Consideriamo allora uno spazio a 6N dimensioni e su ogni coordinata valutiamo una delle variabili che determina lo stato del sistema. Allora lo stato del sistema sarà rappresentato da un punto di questo spazio, che viene chiamato “spazio delle fasi”. Mano a mano che il sistema evolve nel tempo il punto si sposterà in questo iperspazio.

Lasciamo che il sistema evolva per un lunghissimo periodo di tempo e fotografiamo in modo atemporale la probabilità che esso occupi ogni zona dello spazio delle fasi. Questa probabilità sarà data da una densità di punti caratteristica di quella zona. Chiamiamola R. Esattamente come nel caso del flusso di calore o di carica, è possibile scrivere un’equazione di continuità per questa densità di punti nello spazio delle fasi, dove il flusso è dato da R per il campo vettoriale delle velocità v. L’equazione di conservazione della densità di probabilità sarà:

dR /dt = – div R v

Tale equazione è importante, perché da essa si può derivare per i sistemi isolati il teorema di Liouville, secondo il quale la distribuzione di probabilità è costante lungo le traiettorie di evoluzione del sistema.

Questo tipo di ragionamento si può fare anche in meccanica quantistica.

Consideriamo la funzione d’onda W nello spazio di Hilbert delle posizioni. Avremo allora che W dipende dalla posizione e dal tempo. È ben noto che il modulo quadrato di W rappresenta la probabilità di trovare la particella, per cui possiamo uguagliare a esso la densità R. È poi possibile definire un flusso di probabilità J adeguato in funzione della funzione d’onda W. L’equazione di continuità diventa allora la solita:

dR / dt = – div J

È interessante che una delle conseguenze dell’interpretazione bohmiana della meccanica quantistica è la trasformazione dell’equazione di continuità quantistica standard in una equazione di continuità meccanica nella quale il flusso torna a essere la densità per il campo vettoriale delle velocità, esattamente come nel caso della gente che gironzola per piazza S. Pietro. Infatti la versione bohmiana insiste su un’ontologia delle posizioni delle particelle, che, pur comportandosi in modo quantistico, poiché sono statisticamente governate da un’onda pilota o da potenziali quantici, mantiene le traiettorie delle particelle.

Concludo notando che nel 1989 Worrall diede inizio alla kermesse del realismo strutturale, secondo il quale ciò che si conserva nell’avvicendarsi delle teorie fisiche non sono tanto gli oggetti che le diverse teorie ipotizzano, quanto le relazioni date dalle equazioni fondamentali, che spesso restano le stesse nel corso dei decenni e dei secoli. Il suo intento era quello di confutare la meta-induzione pessimista proposta da Laudan, secondo la quale tutte le teorie scientifiche che nel corso dei secoli abbiamo abbracciato si sono poi rivelate false, per cui abbiamo buone ragioni per credere che anche quelle che oggi consideriamo le migliori teorie siano false. E quindi non possiamo credere che le entità che esse presuppongono siano reali. Questo è un forte argomento a favore di quello che abbiamo chiamato “strumentalismo”. In effetti l’equazione di continuità è presente in molte teorie diverse. Ma la ragione di ciò non è il fatto che essa colga una qualche relazione ontologica fondamentale, bensì, molto più prosaicamente che esprime un nostro modo di ragionare sul mondo che si riscontra adeguato in contesti anche molto diversi.

A mio parere il vero argomento contro la meta-induzione pessimista è invece che tutte le teorie ampiamente confermate prodotte dall’uomo sono letteralmente false, poiché esse prendono in considerazione solo alcuni aspetti della realtà. Vengono quindi poi abbandonate, ma resta il fatto che anch’esse in parte sono vere, come nel precedente esempio dell’equazione del calorico.

VF

3 commenti
  1. Mario Alai
    Mario Alai dice:

    Molto bello e interessante, grazie! Sono d’accordo al 100% con la conclusione. Quanto al realismo strutturale, però, mi chiedo: è mai possibile che i nostri modi di ragionare si sovrappongano così brutalmente alla realtà, da darci l’illusione della presenza di analogie (le equazioni che si conservano) anche se non ce ne sono affatto? Kant sosteneva proprio ciò, ma mi sembra incredibile. Mi pare piuttosto che della conservazione delle equazioni si dovrebbe dire quel che dici tu nella conclusione, cioè che esse si mantengono perché un aspetto particolare che era stato messo in luce da una teoria globalmente falsa e oggi abbandonata era comunque reale, e continua a esser descritto anche dalle teorie attuali, e l’equazione si conserva perché appunto descrive proprio quell’aspetto.

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  2. Pietro Bondanini
    Pietro Bondanini dice:

    La mia preparazione matematica è insufficiente per seguire un discorso di metodo sui vari campi di applicazione dell’equazione di continuità, ma è appropriata per valutare la possibilità di usarla nel campo delle scienze umane. Ciò vuol dire che fenomeni non aventi proprietà naturali potrebbero manifestarsi in forma discreta e tale da essere in qualche modo misurati nei loro rapporti d’interdipendenza tra loro e con i fenomeni naturali.

    Vincenzo ci mostra Piazza San Pietro gremita e propone la prima misura r che è la densità di Persone per metro quadro. Propone anche v che è un vettore di spostamento. Dal punto di vista fisico il fenomeno si chiude nel sostenere che 80000 cristiani, in prevalenza cattolici, si sono recati in Piazza San Pietro per recitare l’Angelus. Si sa, però, che in tale piazza molti gruppi si presentano con uno striscione per mostrare la loro appartenenza nazionale. Questo è ancora un dato reale che si aggiunge al vettore di spostamento. Ora si sa che tra la folla ci sono anche i turisti che sono in piazza come curiosi. Costoro non appartengono ai gruppi: sono i residenti in Roma da non considerare tra i turisti.
    Si presume che siano tutti orientati all’assumere un significato dalle parole del Papa e così otteniamo la direzione del vettore.

    Supponiamo di dare a questo vettore il colore azzurro pallido (191-255-255) ai turisti, turchese (127-255-255) alle persone dei gruppi, Blu (0-0-255) ai fondamentalisti religiosi e agli atei e, infine grigio medio agli agnostici (127-127-127). Se ognuno si colorasse nella tonalità corrispondente sarebbe noto a tutti, in modo trasparente, il grado di compartecipazione alle parole del papa.

    Ora spostiamoci in piazza San Giovanni, a Roma, il giorno primo maggio di uno qualsiasi degli anni 70 del secolo scorso, guardando la tavolozza QUI collegata, quale colore assumerebbero i vettori?

    Basta immaginare tante forme di assembramento attorno ad un tema anche al di fuori delle piazze e soprattutto sulle reti sociali per capire che se qualcuno popone un’idea propiziante subito le persone s’aggruppano per seguirla. Ciò non accade oggi. Oggi la gente si nasconde perché ha paura. Il mio vettore è Blu (Passione), fortemente orientato al cambiamento e altrettanto chirurgicamente invasivo sulla natura (umana).
    Le parole qui scritte sono in un contesto magenta (191-0-191).Quelle di Vincenzo verde menta (127-255-127) perché rende compatibile il forte impatto dell’uomo sulla natura.
    Ma senza paura tutti assumerebbero per sé il colore preferito per condividerlo empaticamente.

    I colori, come i suoni sono sinfonici, sono “sincromici” Basta individuarli e carpirne il significato.

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