HO INCONTRATO IL NUMERO DUE

imagesNell’ultima scena del bel film tratto dal romanzo di Orwell “1984”, il protagonista viene sottoposto a torture tremende per convincerlo, fra l’altro, che 2 + 2 = 5; ormai esausto egli scrive nella polvere 2 + 2 = …. e resta perplesso. Nel romanzo il protagonista, invece, aggiunge il numero “5”. L’eroe orwelliano lotta per la verità in un mondo gestito in modo totalitario, che modifica la storia passata a proprio piacimento, fa processi alle intenzioni e costringe le persone non solo a non dire certe cose, ma neanche a pensarle.

Dunque il presupposto di questa scena suggestiva e drammatica sembra essere che “2 + 2 = 4” è un’affermazione vera, esattamente come l’enunciato “il protone è composto da 3 quark”.

Molti sono d’accordo che l’enunciato “il protone ha 3 quark” è vero se e solo se il protone ha 3 quark. Dire di ciò che è che è è il vero, direbbe Aristotele. Con l’avvertenza sottolineata da Tarski che ogni verità è relativa a un linguaggio che abbiamo scelto per parlare della relazione fra il nostro enunciato e il mondo.

Se seguiamo questa prospettiva corrispondentista, da “2 + 2 = 4” è vero deduciamo che nel mondo da qualche parte effettivamente 2 + 2 = 4. Ci guardiamo in giro e non vediamo nulla del genere. Allora arriviamo alla conclusione che esiste un altro mondo invisibile in cui 2 + 2 = 4. Eccoci giunti al platonismo in matematica, dedotto secondo un argomento inaugurato da Frege e discusso da molti.

Purtroppo queste modalità di ragionamento astratte e poco attente alla realtà dell’oggetto di cui discutono oggi vanno per la maggiore. Nessuno studioso serio però può farsi convincere da giochi di questo genere.

È ovvio che quando sosteniamo ragionevolmente che l’enunciato “2 + 2 = 4” è vero stiamo utilizzando il termine “vero” in un senso diverso da quello di Aristotele e Tarski.

Come ci ammonisce sempre il primo, i termini filosofici sono spesso equivoci o al massimo univoci solo per analogia. Ovvero forse c’è un senso in cui gli enunciati matematici sono veri, ma è analogo, di certo non identico, a quello in cui diciamo che “il protone ha 3 quark è vero”.

Chiediamoci allora in che senso “2 + 2 = 4” è vero. La prima cosa che viene in mente è che “2 + 2 = 4” è un teorema dell’aritmetica deducibile dagli assiomi di questa teoria. Potremmo quindi dire che l’enunciato è vero semplicemente perché è deducibile dagli assiomi dell’aritmetica. C’è però un problema, scoperto da Gödel, che l’aritmetica è incompleta, cioè esistono enunciati che non sono né deducibili dagli assiomi, né è deducibile la loro negazione. E ciò malgrado hanno tutta l’aria di essere veri. E allora come si fa? Beh è semplice basta costruire un sistema formale più potente e dire che quegli enunciati sono deducibili in esso e quindi veri. È solo una nostra scelta quale sistema usare. Poi certo anche quel sistema sarà incompleto. E allora dovremo ampliarlo ulteriormente in un processo all’infinito. Il che non è tanto comodo. È vero, però ci sono teoremi belli e profondi che provano che in un certo senso questo processo è completabile.

Detto come va detto, la nozione di verità in matematica non è molto importante. In filosofia circolano diverse nozioni di verità oltre, a quella corrispondentista di Aristotele e Tarski. Una fra queste è il deflazionismo, secondo il quale asserire che un enunciato è vero è come asserirlo e basta. In matematica la verità è meno importante che nelle scienze naturali, forse se ne potrebbe addirittura fare a meno.

Ma allora non abbiamo buone ragioni per sostenere l’esistenza di enti matematici astratti?

Tutt’altro; ma certo gli argomenti a favore del platonismo non sono quei giochi.

Per esempio, la matematica è più o meno la stessa in Europa e in Cina. Come mai, nonostante le enormi differenze culturali e linguistiche fra i due popoli? La matematica è cioè fortemente intersoggettiva. E questo non può essere spiegato con il fatto che il DNA dei cinesi è più o meno uguale al nostro, poiché la matematica è sì in parte un prodotto del nostro DNA, ma è soprattutto il risultato di un lungo e complesso processo di educazione. Una spiegazione semplice di questa universalità della matematica potrebbe essere che sia noi che i cinesi stiamo scoprendo verità sugli stessi oggetti. Certo non è un argomento molto forte, ma è un indizio che la matematica abbia una sua oggettività indipendente da quella della realtà visibile.

Poi c’è un altro punto. Chi l’avrebbe detto che la diagonale del quadrato non è commensurabile con il suo lato? Che stupore incredibile avranno provato i primi matematici, Ipparco, Ippaso ecc. quando se ne sono resi conto? E pensate a quando i geometri antichi hanno dimostrato che nella loro geometria, cioè quella euclidea, esistono solo 5 solidi regolari. Tutto ciò è impressionante. E la matematica nel corso dei secoli ha prodotto decine di altri simili gioielli, che fanno pensare che quando parliamo di matematica stiamo in un certo senso scoprendo un mondo invisibile, ma oggettivo, anche se non composto di materia.

Questi sono i buoni argomenti a favore del platonismo in matematica.

VF

1 commento
  1. Igor Tasini
    Igor Tasini dice:

    Wilfried Sellars potrebbe apparentemente creare qualche difficoltà in merito ma in fin dei conti ci aiuta nella difesa del platonismo in matematica. Il filosofo statunitense ci fa osservare che il passaggio dal fatto all’enunciato è già compromettente, sostenendo che il fatto in se non sia ne vero ne falso , quanto semplicemente un fatto. Così facendo ci aiuta nella difesa del platonismo in matematica : se presupponiamo che l’enunciato “2+2=4” sia vero solo all’interno di un linguaggio (il che è molto scomodo) dobbiamo comunque presupporre che si tratti della rappresentazione di un fatto. Ecco che allora abbiamo incontrato il numero 2!

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