FILOSOFARE ESTRAPOLANDO DALLA LOGICA-MATEMATICA

02SUn intervento di Vincenzo Fano, proprio su questo blog si è già occupato di varie inaccuratezze contenute in un articolo recente di Emanuele Severino sul Corriere. Io ci ritorno brevemente per introdurre un tema diverso.

Ad un certo punto, Severino dice che i teoremi di Gödel dimostrerebbero che la matematica sia fatalmente aperta alla possibilità dell’incoerenza. In realtà, il primo e il secondo teorema di incompletezza dimostrano, rispettivamente: 1) che una teoria formale che catturi l’aritmetica di Peano è incompleta, cioè che vi sono delle proposizioni nel linguaggio della teoria che essa né dimostra né confuta e che: 2) se coerente, quella teoria non può dimostrare la propria coerenza. Fine.

L’intervento di Severino è solo uno dei tanti che estrapolano conclusioni di vario genere dai teoremi di Gödel. Ci sono bei libri, anche relativamente accessibili, che le discutono brevemente. Per esempio: Il diavolo in cattedra, di Odifreddi, Tutti pazzi per Gödel! di Berto e Gödel’s Theorem: an Incomplete Guide to its Use and Absuse di Franzen.

La ragione di questo accanimento estrapolatorio mi sembra la accenni Odifreddi con chiarezza: quello dell’incompletezza è un tema che attraversa in maniera profonda la cultura del ’900, caratterizzata da un desiderio di auto-fondarsi che si è trasformato, per nostra fortuna, nell’incapacità di trovare un fondamento sicuro, per così dire, schematico e definitivo. La questione dell’auto-riferimento poi, che è il cuore del primo teorema di Gödel, è pressoché ubiqua. Da un punto di vista storico-epistemologico generale, si potrebbe dire che ogni disciplina rispettabile, ormai, incorpori e implichi una robusta dimensione meta-disciplinare, caratterizzata, spesso, da metodi e concetti che non differiscono da quelli della disciplina stessa.

Ma torniamo brevemente a Severino. Il problema di Severino è che la cultura occidentale si è aperta irrimediabilmente all’incoerenza nel momento in cui ha pensato che essa fosse possibile, attraverso l’ammissibilità logica della contraddizione. La sua soluzione, neo-parmenidea, che consiste nella negazione del valore ontologico della contraddizione, sopprime il problema alla radice: pensare la contraddizione è pensare il nulla. Ergo, è impensabile pensare la contraddizione.

Se la prospettiva corretta in filosofia è quella neo-parmenidea, non si capisce, però, che sollievo possano dare al monismo radicale severiniano i teoremi di Gödel, peraltro male interpretati. È come se Severino ci dicesse (un po’ teatralmente): “avete visto che succede ad ammettere la possibilità dell’incoerenza? Succede che quando vi viene voglia di bandirla per sempre, essa ritorna come una possibilità ineliminabile del pensiero, come un’ombra infestante, un convitato di pietra di cui non potete sbarazzarvi!”

Ma se pensare la contraddizione (e farne oggetto di un attento esame logico-linguistico) è un esercizio esiziale per un neo-parmenideo, non si capisce a che cosa serva prendere esempi, sorti in altri ambiti, di quella che Severino ritiene l’ineliminabilità della contraddizione, una volta ammessa la sua realtà, e avvalersene per dimostrare l’assioma centrale del neo-parmenidismo: l’auto-identità dell’essere.

Tanto basti su Severino e incompletezza. I filosofi “estrapolatori” hanno trovato nei teoremi di incompletezza una miniera ermeneutica, per le ragioni a cui accennavo sopra. Di altri teoremi, anche di uguale profondità, sembra si curino meno. E forse è un peccato.

Per esempio, non credo di essermi mai imbattuto in estrapolazioni ingegnose dei teoremi di Löwenheim-Skolem. I teoremi di Löwenheim-Skolem per la logica del prim’ordine stabiliscono, com’è noto, che essa è non-categorica, e cioè che, data una teoria formale T e un numero cardinale ≥ℵ0, esistono modelli M di T di qualunque cardinalità . In particolare, ne consegue che qualunque teoria che “parli” di infiniti avrà modelli numerabili.

Com’è noto, questi teoremi misero a soqquadro la comunità dei logici. Com’è possibile che un modello numerabile soddisfi teoremi che dimostrano l’esistenza di oggetti più che numerabili? Il paradosso di Skolem, come poi fu chiamato, indispettì, in particolare,  Zermelo, il quale, a partire dal suo lavoro sull’Assioma di Scelta, aveva strenuamente difeso la legittimità concettuale del “paradiso di Cantor”.

La diatriba fra “zermeliani” e “skolemiani” era tutt’altro che oziosa e concerneva un punto vitale della nostra visione della logica, cioè la sua capacità di catturare in maniera adeguata quelle che riteniamo essere solide intuizioni pre-formali.

I teoremi di Löwenheim-Skolem, ancora oggi, vengono citati da qualche supporter della logica del second’ordine come la deficienza fondamentale del prim’ordine. I sostenitori del prim’ordine, invece, a partire da Gödel, se ne sono serviti per dimostrare un sacco di cose interessanti, anche in teoria degli insiemi. Senza Löwenheim-Skolem non avremmo la teoria dei modelli che è uno dei pilastri centrali della logica contemporanea (un libro che racconta bene queste cose, è il classico di Shapiro, Foundations without Foundationalism). Il second’ordine è stato l’opzione di default per la logica fino a Skolem, più o meno, quindi è chiaro che Zermelo si sforzasse di interpretare la teoria degli insieme in un contesto del second’ordine (come, poi, in effetti, fece in un lavoro straordinario del 1930).

Ad ogni modo, su tutto questo, non mi risulta ci siano estrapolazioni circolanti di qualche rilievo. Eppure abbiamo visto che Skolem fu ed è almeno altrettanto influente di Gödel, ma evidentemente la cosa non è stata recepita al di fuori degli inner circles degli esperti (immaginate se Berto, piuttosto che scrivere Tutti pazzi per Gödel! avesse scritto Tutti pazzi per Skolem! Ho la sensazione che, difficilmente, avrebbe venduto molte copie presso il grande pubblico).

Però altri filosofi, più meno estranei alla logica hardcore, si sono cimentati in altre esuberanti estrapolazioni.

Anni fa (1975) lo psicanalista cileno Ignacio Matte Blanco rimase irrimediabilmente sedotto da Cantor. Nella teoria degli insiemi cantoriana, com’è noto, due insiemi hanno la stessa cardinalità se è possibile trovare una corrispondenza biiettiva fra i loro elementi. Il principio ha degli esiti apparentemente paradossali nell’infinito. L’insiemi degli interi pari ha la stessa cardinalità di tutti gli interi, ma a noi sembra intuitivo dire che ci siano più interi che pari. Questa nozione, con i suoi strascichi paradossali, ha suggerito a Matte Blanco un’applicazione della teoria degli insiemi infiniti alla teoria dell’inconscio: oggetti che sembrano meno grandi (dove la nozione di “grandezza” va ricalibrata al contesto concettuale dell’inconscio) possono avere la stessa “grandezza” di altri apparentemente “più grandi”. Questo sembra essere esattamente quello che fa il nostro inconscio quando si immagina di essere più “grande” di quello che realmente è: per esempio, nel sogno io posso divenire mio padre e mio padre mio figlio. Quindi, la logica dell’inconscio sarebbe una bi-logica, in cui due oggetti a e b, in teoria asimmetrici, vengono resi simmetrici dall’universo infinito che è l’inconscio.

In questo caso, l’estrapolazione avrebbe un valore “chiarificatore”, ma nulla di più: Matte Blanco non sostiene certo che l’inconscio sia un insieme attualmente infinito, di una cardinalità transfinita determinata, né che le funzioni della psiche siano insiemi, per quel che ne so. Da notare, che alcuni matematici, forse in un accesso di furore anti-freudiano, hanno proposto una versione non-standard della teoria degli insiemi in cui l’assioma di Euclide è fatto salvo: la parte non può avere la stessa grandezza del tutto. Ma qui non ne potrò parlare diffusamente.

Infine, un filosofo che ha portato la nozione di “estrapolazione” inter-teorica ad un livello mai visto prima è probabilmente Alain Badiou. Nel suo Essere ed evento (1988), Badiou definisce una teoria dell’essere modellata sugli assiomi di ZFC. Le sue, quindi, sono ben più che estrapolazioni, direi, piuttosto, fusioni concettuali di un paradigma “continentale” (qualunque cosa questo voglia dire, ormai) basato su nozioni ontologiche prevalentemente heideggeriane, strutturaliste e post-strutturaliste e di uno logico-matematico, basato sui risultati e sui concetti della teoria degli insiemi.

Le fusioni di Badiou danno luogo a entità concettuali bizzarre. Per esempio, l’universo costruibile, L, che è una parte propria di V, dell’universo, cioè, di tutti gli insiemi, e che è definito come V, eccetto che per il fatto che l’insieme-potenza di un dato livello Lα, cioè Lα+1, contiene solo ed esclusivamente tutti i sottoinsiemi definibili (da una formula del prim’ordine) di Lα, viene identificato dal filosofo francese con l’essere nella sua dimensione linguistica, mentre V stesso con l’essere nella sua totalità.

Il forcing è una tecnica sviluppata da Paul Cohen negli anni ’60 per dimostrare l’indipendenza dell’Ipotesi del Continuo dagli assiomi di ZFC. La tecnica prevede l’espansione, per così dire, di un modello iniziale, numerabile, in maniera tale da forzare il modello a dire che il numero dei sottoinsiemi di  Ν (codificabili coi reali) è maggiore di ℵ1, che è il valore assegnato al continuo dall’Ipotesi del Continuo. L’elemento logico cruciale del forcing è il fatto che, sulla base di condizioni determinate, si possa estrarre (“forzare”) informazione concernente elementi del modello. Badiou identifica con l’atto di “forzare” il modello, come concepito da Cohen, l’attività del soggetto che diviene più consapevole della propria esistenza determinata e che, quindi, è in grado di auto-fondarsi più adeguatamente.

Non c’è spazio per visitare altre fusioni concettuali proposte da Badiou (al quale va, se non altro, il merito di essere un estrapolatore interessato ai teoremi di Löwenhein-Skolem!). In generale, la sensazione che se ne ricava è che, a differenza di altri estrapolatori, Badiou ritenga la teoria degli insiemi una branca dell’ontologia analitica nel senso heideggeriano del termine. Però l’ipotesi non si capisce bene su cosa sia fondata. O, quantomeno, deve seguire da un assunto più generale: ciò che i teorici degli insiemi cercano, in realtà, di fare è definire una teoria generale dell’essere. Il carattere matematico della teoria, in quanto tale, è, in un certo senso, dissolto, il che pone un altro problema, un problema di demarcazione fra matematica e ontologia tout court.

Gli sforzi di Badiou non hanno trovato, a quel che mi sembra, una calorosa accoglienza, a voler essere buoni. Di conseguenza, la sua opera è ancora interpretata entro il quadro di un’estrapolazione massiccia di concetti e nozioni per fini estranei al contesto originario della teoria che viene, per così dire, utilizzata (o saccheggiata, a seconda dei punti di vista).

Il problema dell’estrapolazione, in realtà, nasconde una questione, dal mio punto di vista, filosoficamente più alta (e non peregrina, anche se fortemente controversa), quella della possibilità di traduzione inter-teorica e dell’unificazione di paradigmi filosofici diversi. Ma di questo, forse, in un altro post.

Claudio Ternullo

 

 

 

0 commenti

Lascia un Commento

Vuoi partecipare alla discussione?
Fornisci il tuo contributo!

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *