DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO E INTUIZIONISMO

2016-03-27_13-49-55La dimostrazione per assurdo è un tipo di ragionamento in cui si assume come vera una certa ipotesi e da essa si deduce una contraddizione che porta ad affermare, per conseguenza logica, come vero il contrario dell’ipotesi iniziale.

In un sistema logico formale la dimostrazione per assurdo si svolge in questo modo: volendo dimostrare A, assumiamo come ipotesi ¬A, nello svolgimento del calcolo giungiamo ad una contraddizione e otteniamo ¬¬A, dunque A.

Questo tipo di ragionamento si basa sull’accettazione del principio del terzo escluso (che esclude l’indeterminatezza del valore di verità di un enunciato), secondo cui “A o non A” è un teorema del sistema; dunque dal punto di vista semantico un enunciato che non è vero, deve essere falso e viceversa, non essendovi una terza possibilità.

La dimostrazione per assurdo è una possibile forma di dimostrazione matematica. Ci sono autori secondo cui il principio del terzo escluso è applicabile: Euclide, ad esempio, lo utilizzò per dimostrare l’infinità dei numeri primi.

Il ragionamento di Euclide è molto noto e semplice: egli suppone per assurdo che i numeri primi siano finiti: esiste dunque un numero Pn che sarà il più grande dei numeri primi (P=1,2,3,5,7… Pn).

Prima di procedere alla dimostrazione di questo teorema, Euclide utilizza un teorema “strumentale” che possiamo spiegare in questo modo: se fattorizziamo un numero (ad esempio 42=2x3x7) ed aggiungiamo 1 a questo numero (42+1=43), deduciamo che, dividendo quest’ultimo numero per ciascuno dei suoi fattori, otteniamo una divisione con resto sempre pari ad 1.

Tornando alla serie P=1,2,3,5,7… Pn se consideriamo il prodotto di tutti i numeri primi e aggiungiamo 1 ad esso otteniamo un certo numero Q.

Secondo il teorema fondamentale dell’aritmetica ci sono due casi: o Q è un numero primo (caso n°1) oppure è ottenuto dal prodotto di numeri primi (caso n°2):

  • Caso n°1. Se Q fosse un numero primo allora, essendo Q > Pn, Pn non sarebbe il più grande dei numeri primi (es. Pn = 7. Allora: 2x3x5x7+1 = 211. 211 è un numero primo, dunque 7 non è il più grande tra i numeri primi);
  • Caso n°2. Se Q non fosse primo avrebbe fattori primi maggiori di Pn. Infatti, come abbiamo precedentemente dimostrato, se dividiamo Q per ciascuno dei suoi fattori otteniamo sempre un risultato con resto 1. Deve esistere, dunque, almeno un altro numero primo che sia maggiore di Pn, ragion per cui di nuovo quest’ultimo non sarebbe il più grande dei numeri primi (es. Pn = 13. Allora 2x3x5x7x11x13+1=30031. Se dividiamo 30031 per ciascuno dei suoi fattori otteniamo di volta in volta una divisione con resto 1. 30031 è dunque fattorizzabile in 59×509 che sono due numeri primi maggiori di 13, percià 13 non è il maggiore tra i numeri primi).

In ogni caso non può esistere un Pn che sia il più grande dei numeri primi, dunque i numeri primi sono infiniti.

Tuttavia, bisogna tener conto dell’esistenza di logiche che non accettano il principio di bivalenza (la versione semantica del terzo escluso), per cui la categorizzazione in vero e falso non avrebbe senso.

Questo avviene in quasi tutti i contesti che non siano strettamente matematici.

Ma non basta. Vi sono infatti alcuni logici matematici, detti intuizionisti, che respingono l’uso della dimostrazione per assurdo, in quanto non accettano come valido universalmente il principio del terzo escluso.

La dimostrazione per assurdo infatti costituisce una delle possibilità di dimostrazione matematica, ma non l’unica. Diversi sono i procedimenti di tipo costruttivo. Secondo tali autori provare l’assurdità della non esistenza di un determinato teorema non è condizione sufficiente per giungere all’affermazione della sua esistenza: bisogna invece arrivare alla costruzione di un esempio effettivo di tale oggetto.

Per gli intuizionisti il principio del terzo escluso non è applicabile quando l’alternativa A V ¬A è affermata relativamente a proposizioni A e ¬A la cui validità non sia deducibile attraverso un procedimento finito, appunto costruibile. E se non vale il terzo escluso non è possibile dedurre a da ¬¬A.

Per gli intuizionisti, infatti, il rifiuto di riconoscere alle entità matematiche la possibilità di un’esistenza fuori dalla nostra mente fa emergere la nozione di costruzione. Poiché non si può evitare completamente il termine “esistere”, quando esso viene impiegato non può avere altro che il senso di “essere costruito dalla ragione”. È chiaro che non utilizzare la dimostrazione per assurdo è una scelta molto limitante. Tuttavia la matematica intuizionista non ha come obiettivo quello di distruggere la matematica classica, bensì di darle delle fondamenta più solide.

Mariangela Del Prete.

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